(1/4)^(2*x-1)+15*(1/4)^x-4

$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 < 0$$

Дано неравенство:
$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 = 0$$
или
$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{16}right)^{x}$$
получим
$$4^{- 2 x + 1} – 4 + 15 cdot 4^{- x} = 0$$
или
$$4^{- 2 x + 1} – 4 + 15 cdot 4^{- x} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{16}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (16 right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = frac{- log{left (4 right )} + i pi}{2 log{left (2 right )}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(frac{1}{4}right)^{2 x – 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{x} – 4 < 0$$
$$-4 + left(frac{1}{4}right)^{-1 + frac{18}{10} 1} + 15 left(frac{1}{4}right)^{frac{9}{10}} < 0$$

2/5 5 ___
2 15*/ 2
-4 + —- + ——– < 0 4 4

но

2/5 5 ___
2 15*/ 2
-4 + —- + ——– > 0
4 4

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 1$$

_____
/
——-ο——-
x1