11*x-2/3>=x^2

$$11 x – frac{2}{3} geq x^{2}$$

Дано неравенство:
$$11 x – frac{2}{3} geq x^{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$11 x – frac{2}{3} = x^{2}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$11 x – frac{2}{3} = x^{2}$$
в
$$- x^{2} + 11 x – frac{2}{3} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 11$$
$$c = – frac{2}{3}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(11)^2 – 4 * (-1) * (-2/3) = 355/3

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

______
11 / 1065 1
— – ——– – —
2 6 10

=
$$- frac{sqrt{1065}}{6} + frac{27}{5}$$
подставляем в выражение
$$11 x – frac{2}{3} geq x^{2}$$

2
/ ______ / ______
|11 / 1065 1 | 2 |11 / 1065 1 |
11*|– – ——– – –| – – >= |– – ——– – –|
2 6 10/ 3 2 6 10/

______ 2
881 11*/ 1065 / ______
— – ———– >= |27 / 1065 |
15 6 |– – ——–|
5 6 /

но

______ 2
881 11*/ 1065 / ______
— – ———– < |27 / 1065 | 15 6 |-- - --------| 5 6 /

Тогда
$$x leq – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2} wedge x leq frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$x leq frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2} wedge – frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2} leq x$$

______ ______
11 / 1065 11 / 1065
[– – ——–, — + ——–]
2 6 2 6

$$x in left[- frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}, frac{sqrt{1065}}{6} + frac{11}{2}right]$$