125^x-25^x+(4*25^x-20)*1/(5^x-5)>=4

$$125^{x} – 25^{x} + frac{4 cdot 25^{x} – 20}{5^{x} – 5} geq 4$$

Дано неравенство:
$$125^{x} – 25^{x} + frac{4 cdot 25^{x} – 20}{5^{x} – 5} geq 4$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$125^{x} – 25^{x} + frac{4 cdot 25^{x} – 20}{5^{x} – 5} = 4$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{2 log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{2 log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{2 log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$125^{x} – 25^{x} + frac{4 cdot 25^{x} – 20}{5^{x} – 5} geq 4$$

4
—— – 20
10____
1 1 / 25
——- – —— + ———— >= 4
10_____ 10____ 1
/ 125 / 25 / 1
|—– – 5|
|10___ |
/ 5 /

4/5
4*5
4/5 7/10 -20 + ——
5 5 5
– —- + —– + ———— >= 4
5 5 9/10
5
-5 + —–
5

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 0$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 0$$
$$x geq frac{2 log{left (2 right )}}{log{left (5 right )}}$$