12*x^2-20*x+5

$$12 x^{2} – 20 x + 5 < 0$$

Дано неравенство:
$$12 x^{2} – 20 x + 5 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$12 x^{2} – 20 x + 5 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 12$$
$$b = -20$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-20)^2 – 4 * (12) * (5) = 160

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

____
5 / 10 1
– – —— – —
6 6 10

=
$$- frac{sqrt{10}}{6} + frac{11}{15}$$
подставляем в выражение
$$12 x^{2} – 20 x + 5 < 0$$

2
/ ____ / ____
|5 / 10 1 | |5 / 10 1 |
12*|- – —— – –| – 20*|- – —— – –| + 5 < 0 6 6 10/ 6 6 10/

2
/ ____ ____
29 |11 / 10 | 10*/ 10 < 0 - -- + 12*|-- - ------| + --------- 3 15 6 / 3

но

2
/ ____ ____
29 |11 / 10 | 10*/ 10 > 0
– — + 12*|– – ——| + ———
3 15 6 / 3

Тогда
$$x < - frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6} wedge x < frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$x < frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6} wedge - frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6} < x$$

____ ____
5 / 10 5 / 10
(- – ——, – + ——)
6 6 6 6

$$x in left(- frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}, frac{sqrt{10}}{6} + frac{5}{6}right)$$