На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$16^{x + frac{1}{4}} – 9 cdot 4^{x – frac{1}{2}} + 1 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$16^{x + frac{1}{4}} – 9 cdot 4^{x – frac{1}{2}} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$16^{x + frac{1}{4}} – 9 cdot 4^{x – frac{1}{2}} + 1 = 0$$
или
$$16^{x + frac{1}{4}} – 9 cdot 4^{x – frac{1}{2}} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$- frac{9 v}{2} + sqrt[4]{16} left(v^{2}right)^{1} + 1 = 0$$
или
$$2 v^{2} – frac{9 v}{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = – frac{9}{2}$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-9/2)^2 – 4 * (2) * (1) = 49/4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 2$$
$$v_{2} = frac{1}{4}$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (4 right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3}{20}$$
=
$$frac{3}{20}$$
подставляем в выражение
$$16^{x + frac{1}{4}} – 9 cdot 4^{x – frac{1}{2}} + 1 geq 0$$
3/20 + 1/4 3/20 – 1/2
16 – 9*4 + 1 >= 0
3/10
3/5 9*2
1 + 2*2 – ——- >= 0
2
но
3/10
3/5 9*2
1 + 2*2 – ——- < 0 2
Тогда
$$x leq frac{1}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{4} wedge x leq 2$$
_____
/
——-•——-•——-
x2 x1
(-oo, -1] U [1/2, oo)
