На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$19 cdot 4^{x} + 4^{- x} leq 20$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$19 cdot 4^{x} + 4^{- x} = 20$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$19 cdot 4^{x} + 4^{- x} = 20$$
или
$$19 cdot 4^{x} + 4^{- x} – 20 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{4}right)^{x}$$
получим
$$v – 20 + frac{19}{v} = 0$$
или
$$v – 20 + frac{19}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{4}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (4 right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
log(19) 1
– ——— – —
1 10
2*log (2)
=
$$- frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$19 cdot 4^{x} + 4^{- x} leq 20$$
log(19) 1 / log(19) 1
– ——— – — -|- ——— – –|
1 10 | 1 10|
2*log (2) 2*log (2) /
19*4 + 4 <= 20
1 log(19) 1 log(19)
— + ——– – — – ——–
10 2*log(2) 10 2*log(2) <= 20 4 + 19*4
но
1 log(19) 1 log(19)
— + ——– – — – ——–
10 2*log(2) 10 2*log(2) >= 20
4 + 19*4
Тогда
$$x leq – frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{log{left (19 right )}}{2 log{left (2 right )}} wedge x leq 0$$
_____
/
——-•——-•——-
x2 x1
/ -log(19)
And|x <= 0, --------- <= x| 2*log(2) /
-log(19)
[———, 0]
2*log(2)
