20*log(25)*1/log(5*x^2)

$$frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} leq frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} leq frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} = frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} = frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{2 left(log{left (x^{2} right )} + log{left (5 right )}right) log{left (5 right )}} left(- 9 log{left (x right )} log{left (x^{2} right )} – log{left (1953125 right )} log{left (x right )} – log{left (6103515625 right )} log{left (x^{2} right )} + 66 log^{2}{left (5 right )}right) = 0$$
$$- frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} – frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}} + frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (5 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} – frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}} + frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 20*log(25)

b1 = log(5*x^2)

a2 = 1

b2 = 1/(3*log(x)/log(125) + 7*log(25*x)/log(25))

зн. получим ур-ние
$$frac{20 log{left (25 right )}}{frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}} = log{left (5 x^{2} right )}$$
$$frac{20 log{left (25 right )}}{frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}} = log{left (5 x^{2} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

20*log253*log+xlog125 + 7*log25*xlog25) = log(5*x^2)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

20*log253*log+xlog125 + 7*log25*xlog25) = log5*x+2

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (5 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}}$$
$$x_{2} = 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}$$
$$x_{1} = 5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}}$$
$$x_{2} = 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}$$
Данные корни
$$x_{2} = 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}$$
$$x_{1} = 5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

______
37 / 6121
– — – ——–
36 36 1
5 – —
10

=
$$- frac{1}{10} + 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}$$
подставляем в выражение
$$frac{20 log{left (25 right )}}{log{left (5 x^{2} right )}} leq frac{3 log{left (x right )}}{log{left (125 right )}} + frac{7 log{left (25 x right )}}{log{left (25 right )}}$$

/ ______ / / ______
| 37 / 6121 | | | 37 / 6121 ||
| – — – ——– | | | – — – ——– ||
| 36 36 1 | | | 36 36 1 ||
3*log|5 – –| 7*log|25*|5 – –||
20*log(25) 10/ 10//
——————————– <= ---------------------------- + --------------------------------- / 2 1 1 | / ______ | log (125) log (25) | | 37 / 6121 | | | | - -- - -------- | | 1| | 36 36 1 | | log |5*|5 - --| | 10/ /

20*log(25) / ______ / ______
——————————— | 37 / 6121 | | 37 / 6121 |
/ 2 | – — – ——–| | – — – ——–|
| / ______ | |5 36 36 | |1 36 36 |
| | 37 / 6121 | | <= 7*log|- - 25*5 | + 7*pi*I 3*log|-- - 5 | + 3*pi*I | | - -- - --------| | 2 / 10 / | | 1 36 36 | | --------------------------------------- + ------------------------------------- log|5*|- -- + 5 | | log(25) log(125) 10 / /

Тогда
$$x leq 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}} wedge x leq 5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}}$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

/ / ______ / ______
| | 37 / 6121 | | 37 / 6121 ||
| | – — + ——– | | – — – ——– ___||
| | 36 36 | | 36 36 / 5 ||
Or|And5 <= x, x < oo/, And|5 <= x, x < -----|| 5 //

$$left(5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}} leq x wedge x < inftyright) vee left(5^{- frac{sqrt{6121}}{36} - frac{37}{36}} leq x wedge x < frac{sqrt{5}}{5}right)$$

______ ______
37 / 6121 37 / 6121
– — – ——– ___ – — + ——–
36 36 / 5 36 36
[5 , —–) U [5 , oo)
5

$$x in left[5^{- frac{sqrt{6121}}{36} – frac{37}{36}}, frac{sqrt{5}}{5}right) cup left[5^{- frac{37}{36} + frac{sqrt{6121}}{36}}, inftyright)$$