На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$25^{x – 1} – 129 cdot 5^{x – 2} + 20 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$25^{x – 1} – 129 cdot 5^{x – 2} + 20 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x – 1} – 129 cdot 5^{x – 2} + 20 = 0$$
или
$$25^{x – 1} – 129 cdot 5^{x – 2} + 20 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$- frac{129 v}{25} + frac{left(v^{2}right)^{1}}{25} + 20 = 0$$
или
$$frac{v^{2}}{25} – frac{129 v}{25} + 20 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{25}$$
$$b = – frac{129}{25}$$
$$c = 20$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-129/25)^2 – 4 * (1/25) * (20) = 14641/625
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 125$$
$$v_{2} = 4$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 125$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 125$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 125$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x – 1} – 129 cdot 5^{x – 2} + 20 < 0$$
39 39
— – 1 — – 2
10 10
25 – 129*5 + 20 < 0
9/10 4/5
20 – 645*5 + 3125*5 < 0
но
9/10 4/5
20 – 645*5 + 3125*5 > 0
Тогда
$$x < 4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 4 wedge x < 125$$
_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2
/ 2*log(2)
And|x < 3, -------- < x| log(5) /
2*log(2)
(——–, 3)
log(5)
