На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$25^{x} – 2 cdot 5^{x} – 15 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$25^{x} – 2 cdot 5^{x} – 15 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x} – 2 cdot 5^{x} – 15 = 0$$
или
$$25^{x} – 2 cdot 5^{x} – 15 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} – 2 v – 15 = 0$$
или
$$v^{2} – 2 v – 15 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -15$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-2)^2 – 4 * (1) * (-15) = 64
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 5$$
$$v_{2} = -3$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x} – 2 cdot 5^{x} – 15 < 0$$
1 2
—- – — – 15 < 0 31 31 -- -- 10 10 25 5
9/10 4/5
2*5 5
-15 – ——- + —– < 0 625 78125
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -3$$
_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -3$$
$$x > 5$$
(-oo, 1)
