(25^x-5^(x+2)+26)*1/(5^x-1)+(25^x-7*5^x+1)*1/(5^x-7)

$$frac{1}{5^{x} – 1} left(25^{x} – 5^{x + 2} + 26right) + frac{1}{5^{x} – 7} left(25^{x} – 7 cdot 5^{x} + 1right) < 2 cdot 5^{x} - 24$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{5^{x} – 1} left(25^{x} – 5^{x + 2} + 26right) + frac{1}{5^{x} – 7} left(25^{x} – 7 cdot 5^{x} + 1right) < 2 cdot 5^{x} - 24$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{5^{x} – 1} left(25^{x} – 5^{x + 2} + 26right) + frac{1}{5^{x} – 7} left(25^{x} – 7 cdot 5^{x} + 1right) = 2 cdot 5^{x} – 24$$
Решаем:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{5^{x} – 1} left(25^{x} – 5^{x + 2} + 26right) + frac{1}{5^{x} – 7} left(25^{x} – 7 cdot 5^{x} + 1right) < 2 cdot 5^{x} - 24$$

9/10 9/10 + 2 9/10 9/10
25 – 5 + 26 25 – 7*5 + 1 9/10
———————– + ——————– < 2*5 - 24 1 1 / 9/10 / 9/10 5 - 1/ 5 - 7/

9/10 4/5 9/10 4/5
26 – 25*5 + 5*5 1 – 7*5 + 5*5 9/10
———————- + ——————– < -24 + 2*5 9/10 9/10 -1 + 5 -7 + 5

но

9/10 4/5 9/10 4/5
26 – 25*5 + 5*5 1 – 7*5 + 5*5 9/10
———————- + ——————– > -24 + 2*5
9/10 9/10
-1 + 5 -7 + 5

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 1$$

_____
/
——-ο——-
x1

/ / log(7)
Or|And(-oo < x, x < 0), And|1 < x, x < ------|| log(5)//

$$left(-infty < x wedge x < 0right) vee left(1 < x wedge x < frac{log{left (7 right )}}{log{left (5 right )}}right)$$

log(7)
(-oo, 0) U (1, ——)
log(5)

$$x in left(-infty, 0right) cup left(1, frac{log{left (7 right )}}{log{left (5 right )}}right)$$