2*cos(x)^2-cos(x)-6>0

$$2 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 6 > 0$$

Дано неравенство:
$$2 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 6 > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 6 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 6 = 0$$
преобразуем
$$- cos{left (x right )} + cos{left (2 x right )} – 5 = 0$$
$$2 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-1)^2 – 4 * (2) * (-6) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = – frac{3}{2}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (2 right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (2 right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (2 right )}$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (2 right )}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi – {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi – {acos}{left (2 right )}$$
$$x_{3} = {acos}{left (- frac{3}{2} right )}$$
$$x_{4} = {acos}{left (2 right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2
2*cos (0) – cos(0) – 6 > 0

-5 > 0

зн. неравенство не имеет решений

Данное неравенство не имеет решений