2*cos(x)^2-cos(x)-6>0

Дано

$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} — 6 > 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} — 6 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} — 6 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} — 6 = 0$$
преобразуем
$$- \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} — 5 = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} — 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 — 4 * a * c =

(-1)^2 — 4 * (2) * (-6) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = — \frac{3}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + {acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + {acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + {acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + {acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + {acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + {acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + {acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + {acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n + {acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + {acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + {acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + {acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi — {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi — {acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = {acos}{\left (- \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{4} = {acos}{\left (2 \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2
2*cos (0) — cos(0) — 6 > 0

-5 > 0

зн. неравенство не имеет решений

Ответ
Читайте также  x^2-49>=0
Данное неравенство не имеет решений
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...