2*log(1/9)*(4*x-x^2)

$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} < 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}}$$

Дано неравенство:
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} < 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} = 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} = 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}}$$
в
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} – 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} – 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$4 x^{2} log{left (3 right )} – 16 x log{left (3 right )} – frac{1}{64} 2^{3 log{left (2 right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4 log{left (3 right )}$$
$$b = – 16 log{left (3 right )}$$
$$c = – frac{1}{64} 2^{3 log{left (2 right )}}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-16*log(3))^2 – 4 * (4*log(3)) * (-2^(3*log(2))/64) = 256*log(3)^2 + 2^(3*log(2))*log(3)/4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(16 log{left (3 right )} + sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(16 log{left (3 right )} + sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(16 log{left (3 right )} + sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(16 log{left (3 right )} + sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

________________________________
/ 3*log(2)
/ 2 2 *log(3)
– / 256*log (3) + —————- + 16*log(3)
/ 4 1
————————————————— – —
1 10
8*log (3)

=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
подставляем в выражение
$$left(- x^{2} + 4 xright) 2 log{left (frac{1}{9} right )} < 2^{-7 + 1 + 3 log{left (2 right )}}$$

/ 2
| / ________________________________ / ________________________________ |
| | / 3*log(2) | | / 3*log(2) | |
| | / 2 2 *log(3) | | / 2 2 *log(3) | |
| |- / 256*log (3) + —————- + 16*log(3) | |- / 256*log (3) + —————- + 16*log(3) | |
| | / 4 1 | | / 4 1 | | 1 + log(2)*3 – 7
2*log(1/9)*|4*|————————————————— – –| – |————————————————— – –| | < 2 | | 1 10| | 1 10| | 8*log (3) / 8*log (3) / /

/ 2
| / ________________________________ ________________________________ |
| | / 3*log(2) | / 3*log(2) |
| | / 2 2 *log(3) | / 2 2 *log(3) | -6 + 3*log(2)
| | – / 256*log (3) + —————- + 16*log(3)| – / 256*log (3) + —————- + 16*log(3)| < 2 | 2 | 1 / 4 | / 4 | -2*|- - - |- -- + ---------------------------------------------------| + ---------------------------------------------------|*log(9) 5 10 8*log(3) / 2*log(3) /

но

/ 2
| / ________________________________ ________________________________ |
| | / 3*log(2) | / 3*log(2) |
| | / 2 2 *log(3) | / 2 2 *log(3) | -6 + 3*log(2)
| | – / 256*log (3) + —————- + 16*log(3)| – / 256*log (3) + —————- + 16*log(3)| > 2
| 2 | 1 / 4 | / 4 |
-2*|- – – |- — + —————————————————| + —————————————————|*log(9)
5 10 8*log(3) / 2*log(3) /

Тогда
$$x < frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(- sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}} + 16 log{left (3 right )}right) wedge x < frac{1}{8 log{left (3 right )}} left(16 log{left (3 right )} + sqrt{frac{1}{4} 2^{3 log{left (2 right )}} log{left (3 right )} + 256 log^{2}{left (3 right )}}right)$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

/ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
| / log(8) / log(8) |
| / 2 + log(373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481) / 2 + log(373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481) |
And|x < 2 + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, 2 - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- < x| | ________ ________ | 16*/ log(3) 16*/ log(3) /

$$x < 2 + frac{sqrt{2^{log{left (8 right )}} + log{left (373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481 right )}}}{16 sqrt{log{left (3 right )}}} wedge - frac{sqrt{2^{log{left (8 right )}} + log{left (373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481 right )}}}{16 sqrt{log{left (3 right )}}} + 2 < x$$

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
/ log(8) / log(8)
/ 2 + log(373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481) / 2 + log(373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481)
(2 – —————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–, 2 + —————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–)
________ ________
16*/ log(3) 16*/ log(3)

$$x in left(- frac{sqrt{2^{log{left (8 right )}} + log{left (373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481 right )}}}{16 sqrt{log{left (3 right )}}} + 2, 2 + frac{sqrt{2^{log{left (8 right )}} + log{left (373391848741020043532959754184866588225409776783734007750636931722079040617265251229993688938803977220468765065431475158108727054592160858581351336982809187314191748594262580938807019951956404285571818041046681288797402925517668012340617298396574731619152386723046235125934896058590588284654793540505936202376547807442730582144527058988756251452817793413352141920744623027518729185432862375737063985485319476416926263819972887006907013899256524297198527698749274196276811060702333710356481 right )}}}{16 sqrt{log{left (3 right )}}}right)$$