2*sin(4*x)-1>=0

$$2 sin{left (4 x right )} – 1 geq 0$$

Дано неравенство:
$$2 sin{left (4 x right )} – 1 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 sin{left (4 x right )} – 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 sin{left (4 x right )} – 1 = 0$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -1 в правую часть ур-ния

с изменением знака при -1

Получим:
$$2 sin{left (4 x right )} = 1$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$sin{left (4 x right )} = frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = 2 pi n + {asin}{left (frac{1}{2} right )}$$
$$4 x = 2 pi n – {asin}{left (frac{1}{2} right )} + pi$$
Или
$$4 x = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$4 x = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{24}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} + frac{5 pi}{24}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{24}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} + frac{5 pi}{24}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{24}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} + frac{5 pi}{24}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} + frac{pi}{24} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} – frac{1}{10} + frac{pi}{24}$$
подставляем в выражение
$$2 sin{left (4 x right )} – 1 geq 0$$
$$2 sin{left (4 left(frac{pi n}{2} + frac{pi}{24} + – frac{1}{10}right) right )} – 1 geq 0$$

/ 2 pi
-1 + 2*sin|- – + — + 2*pi*n| >= 0
5 6 /

но

/ 2 pi
-1 + 2*sin|- – + — + 2*pi*n| < 0 5 6 /

Тогда
$$x leq frac{pi n}{2} + frac{pi}{24}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{pi n}{2} + frac{pi}{24} wedge x leq frac{pi n}{2} + frac{5 pi}{24}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

/pi 5*pi
And|– <= x, x <= ----| 24 24 /

$$frac{pi}{24} leq x wedge x leq frac{5 pi}{24}$$

pi 5*pi
[–, —-]
24 24

$$x in left[frac{pi}{24}, frac{5 pi}{24}right]$$