35*cos(x)^2+2*cos(x)

$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} < 0$$

Дано неравенство:
$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} = 0$$
преобразуем
$$left(35 cos{left (x right )} + 2right) cos{left (x right )} = 0$$
$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 35$$
$$b = 2$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(2)^2 – 4 * (35) * (0) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = – frac{2}{35}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (0 right )}$$
$$x_{1} = pi n + frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (0 right )}$$
$$x_{3} = pi n – frac{pi}{2}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi$$
$$x_{4} = {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi$$
$$x_{4} = {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{4} = {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x_{3} = – {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{2}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$35 cos^{2}{left (x right )} + 2 cos{left (x right )} < 0$$
$$2 cos{left (- frac{1}{10} + frac{pi}{2} right )} + 35 cos^{2}{left (- frac{1}{10} + frac{pi}{2} right )} < 0$$

2
2*sin(1/10) + 35*sin (1/10) < 0

но

2
2*sin(1/10) + 35*sin (1/10) > 0

Тогда
$$x < frac{pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{pi}{2} wedge x < {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$

_____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-ο——-
x1 x4 x3 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > frac{pi}{2} wedge x < {acos}{left (- frac{2}{35} right )}$$
$$x > – {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi wedge x < frac{3 pi}{2}$$

/ / 3*pi /pi
Or|And|x < ----, -acos(-2/35) + 2*pi < x|, And|-- < x, x < acos(-2/35)|| 2 / 2 //

$$left(x < frac{3 pi}{2} wedge - {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi < xright) vee left(frac{pi}{2} < x wedge x < {acos}{left (- frac{2}{35} right )}right)$$

pi 3*pi
(–, acos(-2/35)) U (-acos(-2/35) + 2*pi, —-)
2 2

$$x in left(frac{pi}{2}, {acos}{left (- frac{2}{35} right )}right) cup left(- {acos}{left (- frac{2}{35} right )} + 2 pi, frac{3 pi}{2}right)$$