На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$36^{x – frac{1}{2}} – 7 cdot 6^{x – 1} + 1 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$36^{x – frac{1}{2}} – 7 cdot 6^{x – 1} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$36^{x – frac{1}{2}} – 7 cdot 6^{x – 1} + 1 = 0$$
или
$$36^{x – frac{1}{2}} – 7 cdot 6^{x – 1} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 6^{x}$$
получим
$$- frac{7 v}{6} + frac{left(v^{2}right)^{1}}{6} + 1 = 0$$
или
$$frac{v^{2}}{6} – frac{7 v}{6} + 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{6}$$
$$b = – frac{7}{6}$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-7/6)^2 – 4 * (1/6) * (1) = 25/36
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 6$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$6^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (6 right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$36^{x – frac{1}{2}} – 7 cdot 6^{x – 1} + 1 geq 0$$
9/10 – 1/2 9/10 – 1
36 – 7*6 + 1 >= 0
9/10
4/5 7*6
1 + 6 – ——- >= 0
6
но
9/10
4/5 7*6
1 + 6 – ——- < 0 6
Тогда
$$x leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 1 wedge x leq 6$$
_____
/
——-•——-•——-
x1 x2
(-oo, 0] U [1, oo)
