3^x>(sqrt(3)-1+sqrt(4+2*sqrt(3)))*1/2

$$3^{x} > frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$

Дано неравенство:
$$3^{x} > frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x} = frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x} = frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$
или
$$3^{x} – – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4} = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v – frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4} – frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} = 0$$
или
$$v – frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4} – frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

1/2 + v – sqrt3/2 – sqrt4+2*sqrt+3)/2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:

_____________
___ / ___
/ 3 / 4 + 2*/ 3
v – —– – —————- = -1/2
2 2

Разделим обе части ур-ния на (v – sqrt(3)/2 – sqrt(4 + 2*sqrt(3))/2)/v

v = -1/2 / ((v – sqrt(3)/2 – sqrt(4 + 2*sqrt(3))/2)/v)

делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$
=
$$- frac{3}{5} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$
подставляем в выражение
$$3^{x} > frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$
$$3^{- frac{1}{10} + – frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}} > frac{1}{2} left(-1 + sqrt{3} + sqrt{2 sqrt{3} + 4}right)$$

_____________
___ / ___ _____________
3 / 3 / 4 + 2*/ 3 ___ / ___
– – + —– + —————- > 1 / 3 / 4 + 2*/ 3
5 2 2 – – + —– + —————-
3 2 2 2

значит решение неравенства будет при:
$$x < - frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} sqrt{2 sqrt{3} + 4}$$

_____
——-ο——-
x1

$$x < infty wedge frac{1}{log{left (3 right )}} left(- log{left (2 right )} + log{left (-1 + sqrt{3} + sqrt{2} sqrt{sqrt{3} + 2} right )}right) < x$$

/ ___________
| ___ ___ / ___ |
-log(2) + log -1 + / 3 + / 2 */ 2 + / 3 /
(————————————————, oo)
log(3)

$$x in left(frac{1}{log{left (3 right )}} left(- log{left (2 right )} + log{left (-1 + sqrt{3} + sqrt{2} sqrt{sqrt{3} + 2} right )}right), inftyright)$$