4^cos(x)-2*(a-3)*2^cos(x)+a+3>0

$$a + – 2 cdot 2^{cos{left (x right )}} left(a – 3right) + 4^{cos{left (x right )}} + 3 > 0$$

Дано неравенство:
$$a + – 2 cdot 2^{cos{left (x right )}} left(a – 3right) + 4^{cos{left (x right )}} + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$a + – 2 cdot 2^{cos{left (x right )}} left(a – 3right) + 4^{cos{left (x right )}} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$a + – 2 cdot 2^{cos{left (x right )}} left(a – 3right) + 4^{cos{left (x right )}} + 3 = 0$$
преобразуем
$$2^{cos{left (x right )}} left(- 2 a + 6right) + 4^{cos{left (x right )}} + a + 3 = 0$$
$$2^{cos{left (x right )} + 1} left(- a + 3right) + 4^{cos{left (x right )}} + a + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
$$2^{w + 1} left(- a + 3right) + 4^{w} + a + 3 = 0$$
или
$$2^{w + 1} left(- a + 3right) + 4^{w} + a + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{w}$$
получим
$$a + v^{2} + 2^{1} v^{1} left(- a + 3right) + 3 = 0$$
или
$$a + v^{2} + 2 v left(- a + 3right) + 3 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$a + v^{2} + 2 v left(- a + 3right) + 3 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- 2 a v + a + v^{2} + 6 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = – 2 a + 6$$
$$c = a + 3$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(6 – 2*a)^2 – 4 * (1) * (3 + a) = -12 + (6 – 2*a)^2 – 4*a

Уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = a + frac{1}{2} sqrt{- 4 a + left(- 2 a + 6right)^{2} – 12} – 3$$
$$v_{2} = a – frac{1}{2} sqrt{- 4 a + left(- 2 a + 6right)^{2} – 12} – 3$$
делаем обратную замену
$$2^{w} = v$$
или
$$w = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + frac{1}{2} sqrt{- 4 a + left(- 2 a + 6right)^{2} – 12} – 3 right )} = frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )}$$
$$w_{2} = frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – frac{1}{2} sqrt{- 4 a + left(- 2 a + 6right)^{2} – 12} – 3 right )} = frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a + sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (a – sqrt{- a + left(- a + 3right)^{2} – 3} – 3 right )} right )} – pi$$
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

cos(0) cos(0)
4 – 2*(a – 3)*2 + a + 3 > 0

19 – 3*a > 0

зн. неравенство не имеет решений