4*log(64+4*x-x^2)

$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} < -3$$

Дано неравенство:
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} < -3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} = -3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} = -3$$
преобразуем
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} + 3 = 0$$
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$4 w = -3$$
Разделим обе части ур-ния на 4

w = -3 / (4)

Получим ответ: w = -3/4
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2 + frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x_{2} = – frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + 2$$
$$x_{1} = 2 + frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x_{2} = – frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + 2$$
$$x_{1} = 2 + frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

______________
/ 3/4 -3/8 1
2 – / -1 + 68*e *e – —
10

=
$$- frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 log{left (- x^{2} + 4 x + 64 right )} < -3$$

/ 2
| / ______________ / ______________ |
| | / 3/4 -3/8 1 | | / 3/4 -3/8 1 | |
4*log|64 + 4*|2 – / -1 + 68*e *e – –| – |2 – / -1 + 68*e *e – –| | < -3 10/ 10/ /

/ 2
| / ______________ ______________ |
| 358 |19 / 3/4 -3/8| / 3/4 -3/8| < -3 4*log|- --- + |-- - / -1 + 68*e *e | + 4*/ -1 + 68*e *e | + 4*pi*I 5 10 / /

Тогда
$$x < - frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + 2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}} + 2 wedge x < 2 + frac{1}{e^{frac{3}{8}}} sqrt{-1 + 68 e^{frac{3}{4}}}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Данное неравенство не имеет решений