4*sin(x)^2+5*sin(x)

$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} leq 0$$

Дано неравенство:
$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} = 0$$
преобразуем
$$left(4 sin{left (x right )} + 5right) sin{left (x right )} = 0$$
$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 5$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(5)^2 – 4 * (4) * (0) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = – frac{5}{4}$$
делаем обратную замену
$$sin{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (0 right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (- frac{5}{4} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n – {asin}{left (frac{5}{4} right )}$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (w_{1} right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (0 right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (w_{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n + pi – {asin}{left (- frac{5}{4} right )}$$
$$x_{4} = 2 pi n + pi + {asin}{left (frac{5}{4} right )}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = pi + {asin}{left (frac{5}{4} right )}$$
$$x_{4} = – {asin}{left (frac{5}{4} right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 sin^{2}{left (x right )} + 5 sin{left (x right )} leq 0$$
$$5 sin{left (- frac{1}{10} right )} + 4 sin^{2}{left (- frac{1}{10} right )} leq 0$$

2
-5*sin(1/10) + 4*sin (1/10) <= 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 0$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 0$$
$$x geq pi$$

$$left(pi leq x wedge x < inftyright) vee left(x leq 0 wedge -infty < xright)$$

(-oo, 0] U [pi, oo)

$$x in left(-infty, 0right] cup left[pi, inftyright)$$