4^(x+1)-33*2^x+8

$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 leq 0$$

Дано неравенство:
$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 = 0$$
или
$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$- 33 v + 4^{1} left(v^{2}right)^{1} + 8 = 0$$
или
$$4 v^{2} – 33 v + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -33$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-33)^2 – 4 * (4) * (8) = 961

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
$$v_{2} = frac{1}{4}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3}{20}$$
=
$$frac{3}{20}$$
подставляем в выражение
$$- 33 cdot 2^{x} + 4^{x + 1} + 8 leq 0$$

3/20 + 1 3/20
4 – 33*2 + 8 <= 0

3/20 3/10
8 – 33*2 + 4*2 <= 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{1}{4}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{1}{4}$$
$$x geq 8$$

$$-2 leq x wedge x leq 3$$

[-2, 3]

$$x in left[-2, 3right]$$