4^x

$$4^{x} leq 9 cdot 2^{x} + 22$$

Дано неравенство:
$$4^{x} leq 9 cdot 2^{x} + 22$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} = 9 cdot 2^{x} + 22$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} = 9 cdot 2^{x} + 22$$
или
$$4^{x} + – 9 cdot 2^{x} – 22 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} – 9 v – 22 = 0$$
или
$$v^{2} – 9 v – 22 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -9$$
$$c = -22$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-9)^2 – 4 * (1) * (-22) = 169

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 11$$
$$v_{2} = -2$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 11$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} leq 9 cdot 2^{x} + 22$$
$$frac{1}{4^{frac{21}{10}}} leq frac{9}{2^{frac{21}{10}}} + 22$$

4/5 9/10
2 9*2
—- <= 22 + ------- 32 8

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq -2$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq -2$$
$$x geq 11$$

/ log(11)
And|x <= -------, -oo < x| log(2) /

$$x leq frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}} wedge -infty < x$$

log(11)
(-oo, ——-]
log(2)

$$x in left(-infty, frac{log{left (11 right )}}{log{left (2 right )}}right]$$