4^x+2^x+1-80

$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 < 0$$

Дано неравенство:
$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 = 0$$
или
$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + v – 79 = 0$$
или
$$v^{2} + v – 79 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -79$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(1)^2 – 4 * (1) * (-79) = 317

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{317}}{2}$$
$$v_{2} = – frac{sqrt{317}}{2} – frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{317}}{2} – frac{1}{2}$$
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{317}}{2} – frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{sqrt{317}}{2} – frac{1}{2}$$
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{317}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

_____
1 / 317 1
– – – ——- – —
2 2 10

=
$$- frac{sqrt{317}}{2} – frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 4^{x} + 1 – 80 < 0$$

_____ _____
1 / 317 1 1 / 317 1
– – – ——- – — – – – ——- – —
2 2 10 2 2 10
4 + 2 + 1 – 80 < 0

_____ _____
3 / 317 3 / 317
– – – ——- – – – ——- < 0 5 2 5 2 -79 + 2 + 4

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - frac{sqrt{317}}{2} - frac{1}{2}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - frac{sqrt{317}}{2} - frac{1}{2}$$
$$x > – frac{1}{2} + frac{sqrt{317}}{2}$$