4^(x-3)-71*2^(x-6)+7

$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 leq 0$$

Дано неравенство:
$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 = 0$$
или
$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$- frac{71 v}{64} + frac{left(v^{2}right)^{1}}{64} + 7 = 0$$
или
$$frac{v^{2}}{64} – frac{71 v}{64} + 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{64}$$
$$b = – frac{71}{64}$$
$$c = 7$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-71/64)^2 – 4 * (1/64) * (7) = 3249/4096

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 64$$
$$v_{2} = 7$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 64$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = 64$$
$$x_{2} = 7$$
Данные корни
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = 64$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{69}{10}$$
=
$$frac{69}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 71 cdot 2^{x – 6} + 4^{x – 3} + 7 leq 0$$

69 69
— – 3 — – 6
10 10
4 – 71*2 + 7 <= 0

9/10 4/5
7 – 71*2 + 128*2 <= 0

но

9/10 4/5
7 – 71*2 + 128*2 >= 0

Тогда
$$x leq 7$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 7 wedge x leq 64$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

/ log(7)
And|x <= 6, ------ <= x| log(2) /

$$x leq 6 wedge frac{log{left (7 right )}}{log{left (2 right )}} leq x$$

log(7)
[——, 6]
log(2)

$$x in left[frac{log{left (7 right )}}{log{left (2 right )}}, 6right]$$