На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$4^{x} + 4^{- x} geq frac{10}{3}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} + 4^{- x} = frac{10}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} + 4^{- x} = frac{10}{3}$$
или
$$4^{x} + 4^{- x} – frac{10}{3} = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{4}right)^{x}$$
получим
$$v – frac{10}{3} + frac{1}{v} = 0$$
или
$$v – frac{10}{3} + frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{4}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (4 right )}}$$
$$x_{1} = – frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = – frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
log(3) 1
– ——— – —
1 10
2*log (2)
=
$$- frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} + 4^{- x} geq frac{10}{3}$$
log(3) 1 / log(3) 1
– ——— – — -|- ——— – –|
1 10 | 1 10|
2*log (2) 2*log (2) /
4 + 4 >= 10/3
1 log(3) 1 log(3)
– — – ——– — + ——–
10 2*log(2) 10 2*log(2) >= 10/3
4 + 4
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x geq frac{log{left (3 right )}}{2 log{left (2 right )}}$$
/ / -log(3) / log(3)
Or|And|x <= --------, -oo < x|, And|-------- <= x, x < oo|| 2*log(2) / 2*log(2) //
-log(3) log(3)
(-oo, ——–] U [——–, oo)
2*log(2) 2*log(2)
