(4*x+7)^2*1/x-3>=56*x+49+16*x^2*1/21-10*x+x^2

$$-3 + frac{1}{x} left(4 x + 7right)^{2} geq x^{2} + – 10 x + frac{16 x^{2}}{21} + 56 x + 49$$

Дано неравенство:
$$-3 + frac{1}{x} left(4 x + 7right)^{2} geq x^{2} + – 10 x + frac{16 x^{2}}{21} + 56 x + 49$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$-3 + frac{1}{x} left(4 x + 7right)^{2} = x^{2} + – 10 x + frac{16 x^{2}}{21} + 56 x + 49$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{210}{37} – frac{135408}{1369 left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}} – frac{1}{3} left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}$$
$$x_{2} = – frac{210}{37} – frac{1}{3} left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
$$x_{3} = – frac{210}{37} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{210}{37} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{210}{37} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_________________________________
/ ___________
/ 479681433 189*I*/ 777936943
3 / ——— + ——————-
210 135408 / 101306 2738 1
– — – ——————————————- – ————————————– – —
37 _________________________________ 3 10
/ ___________
/ 479681433 189*I*/ 777936943
1369*3 / ——— + ——————-
/ 101306 2738

=
$$- frac{2137}{370} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
подставляем в выражение
$$-3 + frac{1}{x} left(4 x + 7right)^{2} geq x^{2} + – 10 x + frac{16 x^{2}}{21} + 56 x + 49$$

2 2
/ / _________________________________ / _________________________________
| | / ___________ | | | / ___________ |
| | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | | / 479681433 189*I*/ 777936943 |
| | 3 / ——— + ——————- | | | 3 / ——— + ——————- |
| | 210 135408 / 101306 2738 1 | | | 210 135408 / 101306 2738 1 |
|4*|- — – ——————————————- – ————————————– – –| + 7| 16*|- — – ——————————————- – ————————————– – –| 2
| | 37 _________________________________ 3 10| | / _________________________________ | 37 _________________________________ 3 10| / _________________________________ / _________________________________
| | / ___________ | | | / ___________ | | / ___________ | | / ___________ | | / ___________ |
| | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | / 479681433 189*I*/ 777936943 |
| | 1369*3 / ——— + ——————- | | | 3 / ——— + ——————- | | 1369*3 / ——— + ——————- | | 3 / ——— + ——————- | | 3 / ——— + ——————- |
/ 101306 2738 / / | 210 135408 / 101306 2738 1 | / 101306 2738 / | 210 135408 / 101306 2738 1 | | 210 135408 / 101306 2738 1 |
———————————————————————————————————— – 3 >= 56*|- — – ——————————————- – ————————————– – –| + 49 + ——————————————————————————————————- – 10*|- — – ——————————————- – ————————————– – –| + |- — – ——————————————- – ————————————– – –|
1 | 37 _________________________________ 3 10| 21 | 37 _________________________________ 3 10| | 37 _________________________________ 3 10|
/ _________________________________ | / ___________ | | / ___________ | | / ___________ |
| / ___________ | | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | / 479681433 189*I*/ 777936943 | | / 479681433 189*I*/ 777936943 |
| / 479681433 189*I*/ 777936943 | | 1369*3 / ——— + ——————- | | 1369*3 / ——— + ——————- | | 1369*3 / ——— + ——————- |
| 3 / ——— + ——————- | / 101306 2738 / / 101306 2738 / / 101306 2738 /
| 210 135408 / 101306 2738 1 |
|- — – ——————————————- – ————————————– – –|
| 37 _________________________________ 3 10|
| / ___________ |
| / 479681433 189*I*/ 777936943 |
| 1369*3 / ——— + ——————- |
/ 101306 2738 /

2
/ _________________________________
| / ___________ |
| / 479681433 189*I*/ 777936943 | 2
| 4*3 / ——— + ——————- | / _________________________________
| 2979 541632 / 101306 2738 | | / ___________ |
|- —- – ——————————————- – —————————————-| | / 479681433 189*I*/ 777936943 |
| 185 _________________________________ 3 | | 3 / ——— + ——————- |
| / ___________ | | 2137 135408 / 101306 2738 |
| / 479681433 189*I*/ 777936943 | 37*|- —- – ——————————————- – ————————————–|
| 1369*3 / ——— + ——————- | _________________________________ | 370 _________________________________ 3 |
/ 101306 2738 / / ___________ | / ___________ |
-3 + ————————————————————————————————– >= / 479681433 189*I*/ 777936943 | / 479681433 189*I*/ 777936943 |
_________________________________ 46*3 / ——— + ——————- | 1369*3 / ——— + ——————- |
/ ___________ 40086 6228768 / 101306 2738 / 101306 2738 /
/ 479681433 189*I*/ 777936943 – —– – ——————————————- – —————————————– + —————————————————————————————————
3 / ——— + ——————- 185 _________________________________ 3 21
2137 135408 / 101306 2738 / ___________
– —- – ——————————————- – ————————————– / 479681433 189*I*/ 777936943
370 _________________________________ 3 1369*3 / ——— + ——————-
/ ___________ / 101306 2738
/ 479681433 189*I*/ 777936943
1369*3 / ——— + ——————-
/ 101306 2738

Тогда
$$x leq – frac{210}{37} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq – frac{210}{37} – frac{1}{3} sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}} – frac{135408}{1369 sqrt[3]{frac{479681433}{101306} + frac{189 i}{2738} sqrt{777936943}}}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$left(x leq {Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 1right)} wedge {Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 0right)} leq xright) vee left(x leq {Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 2right)} wedge 0 < xright)$$

/ 3 2 / 3 2 / 3 2
[CRootOf -1029 – 84*x + 37*x + 630*x , 0/, CRootOf -1029 – 84*x + 37*x + 630*x , 1/] U (0, CRootOf -1029 – 84*x + 37*x + 630*x , 2/]

$$x in left[{Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 0right)}, {Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 1right)}right] cup left(0, {Crootof} {left(37 x^{3} + 630 x^{2} – 84 x – 1029, 2right)}right]$$