(56/5+sqrt(3136/25-62*x/5))*1/(31/5)

$$frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) < frac{1}{2} left(sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} + frac{123}{10}right)$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) < frac{1}{2} left(sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} + frac{123}{10}right)$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) = frac{1}{2} left(sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} + frac{123}{10}right)$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) = frac{1}{2} left(sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} + frac{123}{10}right)$$
преобразуем:
$$frac{5}{31} sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} – frac{1}{2} sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} = frac{2693}{620}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(frac{5}{31} sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} – frac{1}{2} sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}}right)^{2} = frac{7252249}{384400}$$
или
$$left(- frac{1}{2}right)^{2} left(- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}right) + frac{- frac{10}{31}}{2} sqrt{left(- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}right) left(- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}right)} + left(frac{5}{31}right)^{2} left(- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}right) = frac{7252249}{384400}$$
или
$$- frac{81 x}{155} – frac{5}{31} sqrt{frac{248 x^{2}}{25} – frac{240859 x}{125} + frac{2309664}{125}} + frac{1540993}{38440} = frac{7252249}{384400}$$
преобразуем:
$$- frac{5}{31} sqrt{frac{248 x^{2}}{25} – frac{240859 x}{125} + frac{2309664}{125}} = frac{81 x}{155} – frac{263151}{12400}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$frac{8 x^{2}}{31} – frac{240859 x}{4805} + frac{2309664}{4805} = left(frac{81 x}{155} – frac{263151}{12400}right)^{2}$$
$$frac{8 x^{2}}{31} – frac{240859 x}{4805} + frac{2309664}{4805} = frac{6561 x^{2}}{24025} – frac{21315231 x}{961000} + frac{69248448801}{153760000}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- frac{361 x^{2}}{24025} – frac{26856569 x}{961000} + frac{4660799199}{153760000} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – frac{361}{24025}$$
$$b = – frac{26856569}{961000}$$
$$c = frac{4660799199}{153760000}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-26856569/961000)^2 – 4 * (-361/24025) * (4660799199/153760000) = 3614789234813/4617605000

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
$$x_{2} = – frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888}$$

Т.к.
$$sqrt{frac{248 x^{2}}{25} – frac{240859 x}{125} + frac{2309664}{125}} = – frac{81 x}{25} + frac{263151}{2000}$$
и
$$sqrt{frac{248 x^{2}}{25} – frac{240859 x}{125} + frac{2309664}{125}} geq 0$$
то

263151 81*x
—— – —- >= 0
2000 25

или
$$x leq frac{29239}{720}$$
$$-infty < x$$
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
$$x_{2} = – frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888}$$
проверяем:
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
$$frac{5}{31} sqrt{- frac{62 x_{1}}{5} + frac{3136}{25}} – frac{1}{2} sqrt{- frac{4 x_{1}}{5} + frac{1473}{10}} – frac{2693}{620} = 0$$
=
$$- frac{123}{20} + frac{1}{2} sqrt{frac{1473}{10} – – frac{2693 sqrt{996874}}{3610} – frac{26856569}{36100}} + frac{1}{frac{31}{5}} left(frac{56}{5} + sqrt{frac{3136}{25} – – frac{83483 sqrt{996874}}{7220} – frac{832553639}{72200}}right) = 0$$
=

0 = 0

– тождество
$$x_{2} = – frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888}$$
$$frac{5}{31} sqrt{- frac{62 x_{2}}{5} + frac{3136}{25}} – frac{1}{2} sqrt{- frac{4 x_{2}}{5} + frac{1473}{10}} – frac{2693}{620} = 0$$
=
$$- frac{1}{2} sqrt{- – frac{26856569}{36100} + frac{2693 sqrt{996874}}{3610} + frac{1473}{10}} + frac{123}{20} + frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- – frac{832553639}{72200} + frac{83483 sqrt{996874}}{7220} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) = 0$$
=

-2693/620 – sqrt(32174099/36100 – 2693*sqrt(996874)/3610)/2 + 5*sqrt(841610407/72200 – 83483*sqrt(996874)/7220)/31 = 0

– Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

________
26856569 2693*/ 996874 1
– ——– – ————— – —
28880 2888 10

=
$$- frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26859457}{28880}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{frac{31}{5}} left(sqrt{- frac{62 x}{5} + frac{3136}{25}} + frac{56}{5}right) < frac{1}{2} left(sqrt{- frac{4 x}{5} + frac{1473}{10}} + frac{123}{10}right)$$

_______________________________________________ ______________________________________________
/ / ________ / / ________
/ | 26856569 2693*/ 996874 1 | / | 26856569 2693*/ 996874 1 |
/ 62*|- ——– – ————— – –| / 4*|- ——– – ————— – –|
56 / 3136 28880 2888 10/ 123 / 1473 28880 2888 10/
— + / —- – ————————————– — + / —- – ————————————-
5 / 25 1 10 / 10 1
/ 5 / 5
———————————————————— < ------------------------------------------------------------ 1 2 31/5

______________________________ ____________________________
/ ________ / ________
/ 168339987 83483*/ 996874 / 32176987 2693*/ 996874
5* / ——— + —————- < / -------- + --------------- 56 / 14440 7220 123 / 36100 3610 -- + ------------------------------------- --- + --------------------------------- 31 31 20 2

но

______________________________ ____________________________
/ ________ / ________
/ 168339987 83483*/ 996874 / 32176987 2693*/ 996874
5* / ——— + —————- > / ——– + —————
56 / 14440 7220 123 / 36100 3610
— + ————————————- — + ———————————
31 31 20 2

Тогда
$$x < - frac{2693 sqrt{996874}}{2888} - frac{26856569}{28880}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$left(x leq frac{1568}{155} wedge – frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888} < xright) vee left(x < - frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888} wedge - frac{2693 sqrt{996874}}{2888} - frac{26856569}{28880} < xright)$$

________ ________ ________
26856569 2693*/ 996874 26856569 2693*/ 996874 26856569 2693*/ 996874 1568
(- ——– – —————, – ——– + —————) U (- ——– + —————, —-]
28880 2888 28880 2888 28880 2888 155

$$x in left(- frac{2693 sqrt{996874}}{2888} – frac{26856569}{28880}, – frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888}right) cup left(- frac{26856569}{28880} + frac{2693 sqrt{996874}}{2888}, frac{1568}{155}right]$$