5^x+(1/5)^x>2

$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} > 2$$

Дано неравенство:
$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} > 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} = 2$$
или
$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} – 2 = 0$$
Сделаем замену
$$v = left(frac{1}{5}right)^{x}$$
получим
$$v – 2 + frac{1}{v} = 0$$
или
$$v – 2 + frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$left(frac{1}{5}right)^{x} = v$$
или
$$x = – frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} + left(frac{1}{5}right)^{x} > 2$$
$$frac{1}{sqrt[10]{5}} + frac{1}{sqrt[10]{frac{1}{5}}} > 2$$

9/10
10___ 5
/ 5 + —– > 2
5

значит решение неравенства будет при:
$$x < 0$$

_____
——-ο——-
x1

$$left(-infty < x wedge x < 0right) vee left(0 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, 0) U (0, oo)

$$x in left(-infty, 0right) cup left(0, inftyright)$$