5*x^2-4*x+21>0

$$5 x^{2} – 4 x + 21 > 0$$

Дано неравенство:
$$5 x^{2} – 4 x + 21 > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5 x^{2} – 4 x + 21 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 5$$
$$b = -4$$
$$c = 21$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-4)^2 – 4 * (5) * (21) = -404

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{2}{5} + frac{sqrt{101} i}{5}$$
$$x_{2} = frac{2}{5} – frac{sqrt{101} i}{5}$$
$$x_{1} = frac{2}{5} + frac{sqrt{101} i}{5}$$
$$x_{2} = frac{2}{5} – frac{sqrt{101} i}{5}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2
5*0 – 4*0 + 21 > 0

21 > 0

зн. неравенство выполняется всегда

$$-infty < x wedge x < infty$$

(-oo, oo)

$$x in left(-infty, inftyright)$$