5*x^3-45

$$5 x^{3} – 45 < 0$$

Дано неравенство:
$$5 x^{3} – 45 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5 x^{3} – 45 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$5 x^{3} – 45 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{5} sqrt[3]{x^{3}} = sqrt[3]{45}$$
или
$$sqrt[3]{5} x = sqrt[3]{45}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*5^1/3 = 45^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*5^1/3 = 45^1/3

Разделим обе части ур-ния на 5^(1/3)

x = 45^(1/3) / (5^(1/3))

Получим ответ: x = 3^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 9$$
где
$$r = 3^{frac{2}{3}}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} – frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} + frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
$$x_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3^{frac{2}{3}}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3^{frac{2}{3}}$$
подставляем в выражение
$$5 x^{3} – 45 < 0$$
$$-45 + 5 left(- frac{1}{10} + 3^{frac{2}{3}}right)^{3} < 0$$

3
/ 1 2/3
-45 + 5*|- — + 3 | < 0 10 /

значит решение неравенства будет при:
$$x < 3^{frac{2}{3}}$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < 3^{frac{2}{3}}$$

2/3
(-oo, 3 )

$$x in left(-infty, 3^{frac{2}{3}}right)$$