6*x^2+1

$$6 x^{2} + 1 < 65$$

Дано неравенство:
$$6 x^{2} + 1 < 65$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 x^{2} + 1 = 65$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$6 x^{2} + 1 = 65$$
в
$$6 x^{2} + 1 – 65 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = 0$$
$$c = -64$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (6) * (-64) = 1536

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = – frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = – frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = – frac{4 sqrt{6}}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{4 sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = frac{4 sqrt{6}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

___
4*/ 6 1
– ——- – —
3 10

=
$$- frac{4 sqrt{6}}{3} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$6 x^{2} + 1 < 65$$

2
/ ___
| 4*/ 6 1 |
6*|- ——- – –| + 1 < 65 3 10/

2
/ ___
| 1 4*/ 6 | < 65 1 + 6*|- -- - -------| 10 3 /

но

2
/ ___
| 1 4*/ 6 | > 65
1 + 6*|- — – ——-|
10 3 /

Тогда
$$x < - frac{4 sqrt{6}}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{4 sqrt{6}}{3} wedge x < frac{4 sqrt{6}}{3}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$- frac{4 sqrt{6}}{3} < x wedge x < frac{4 sqrt{6}}{3}$$

___ ___
-4*/ 6 4*/ 6
(——–, ——-)
3 3

$$x in left(- frac{4 sqrt{6}}{3}, frac{4 sqrt{6}}{3}right)$$