6*x^2-15*x+19*x^2/3-15*x+19

$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 < 2$$

Дано неравенство:
$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 < 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 = 2$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 = 2$$
в
$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 – 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{37}{3}$$
$$b = -30$$
$$c = 17$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-30)^2 – 4 * (37/3) * (17) = 184/3

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

_____
45 / 138 1
— – ——- – —
37 37 10

=
$$- frac{sqrt{138}}{37} + frac{413}{370}$$
подставляем в выражение
$$- 15 x + frac{19 x^{2}}{3} + 6 x^{2} – 15 x + 19 < 2$$

2
/ _____
2 |45 / 138 1 |
/ _____ / _____ 19*|– – ——- – –| / _____
|45 / 138 1 | |45 / 138 1 | 37 37 10/ |45 / 138 1 |
6*|– – ——- – –| – 15*|– – ——- – –| + ———————– – 15*|– – ——- – –| + 19 < 2 37 37 10/ 37 37 10/ 1 37 37 10/ 3

2
/ _____
|413 / 138 |
_____ 37*|— – ——-| < 2 536 30*/ 138 370 37 / - --- + ---------- + ------------------- 37 37 3

но

2
/ _____
|413 / 138 |
_____ 37*|— – ——-| > 2
536 30*/ 138 370 37 /
– — + ———- + ——————-
37 37 3

Тогда
$$x < - frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37} wedge x < frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$x < frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37} wedge - frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37} < x$$

_____ _____
45 / 138 45 / 138
(– – ——-, — + ——-)
37 37 37 37

$$x in left(- frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}, frac{sqrt{138}}{37} + frac{45}{37}right)$$