7*log(9)*1/log(x^2-x-6)

$$frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} leq 81$$

Дано неравенство:
$$frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} leq 81$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} = 81$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} = 81$$
преобразуем
$$-81 + frac{log{left (4782969 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} = 0$$
$$-81 + frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} – x – 6 right )}$$
Дано уравнение:
$$-81 + frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 7*log(9)

b1 = log(-6 + x^2 – x)

a2 = 1

b2 = 1/81

зн. получим ур-ние
$$frac{7}{81} log{left (9 right )} = log{left (x^{2} – x – 6 right )}$$
$$frac{7}{81} log{left (9 right )} = log{left (x^{2} – x – 6 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

7*log9/81 = log(-6 + x^2 – x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

7*log9/81 = log-6+x+2+x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

7*log(9)/81 = log(-6 + x^2 – x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} – x – 6 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

____________
/ 14
/ —
/ 81
1 / 25 + 4*3 1
– – —————– – —
2 2 10

=
$$- frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$frac{7 log{left (9 right )}}{log{left (x^{2} – x – 6 right )}} leq 81$$

7*log(9)
——————————————————————– <= 81 / 2 |/ ____________ ____________ | || / 14 | / 14 | || / -- | / -- | || / 81 | / 81 | 1||1 / 25 + 4*3 1 | 1 / 25 + 4*3 1 | log ||- - ----------------- - --| - - - ----------------- - -- - 6| 2 2 10/ 2 2 10 /

7*log(9)
——————————————————–
/ 2
| / ____________ ____________|
| | / 14 | / 14 |
| | / — | / — | <= 81 | | / 81 | / 81 | | 32 |2 / 25 + 4*3 | / 25 + 4*3 | log|- -- + |- - -----------------| + -----------------| 5 5 2 / 2 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}$$
$$x geq frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25}$$

/ / ____________ / ____________
| | / 14 | | / 14 ||
| | / — | | / — ||
| | / 81 | | / 81 ||
| | 1 / 25 + 4*3 | |1 / 25 + 4*3 ||
Or|And|x <= - - -----------------, -oo < x|, And|- + ----------------- <= x, x < oo|| 2 2 / 2 2 //

$$left(x leq – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2} wedge -infty < xright) vee left(frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} leq x wedge x < inftyright)$$

____________ ____________
/ 14 / 14
/ — / —
/ 81 / 81
1 / 25 + 4*3 1 / 25 + 4*3
(-oo, – – —————–] U [- + —————–, oo)
2 2 2 2

$$x in left(-infty, – frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25} + frac{1}{2}right] cup left[frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{4 cdot 3^{frac{14}{81}} + 25}, inftyright)$$