81*x^2

$$81 x^{2} leq 16$$

Дано неравенство:
$$81 x^{2} leq 16$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$81 x^{2} = 16$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$81 x^{2} = 16$$
в
$$81 x^{2} – 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 81$$
$$b = 0$$
$$c = -16$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (81) * (-16) = 5184

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{4}{9}$$
$$x_{2} = – frac{4}{9}$$
$$x_{1} = frac{4}{9}$$
$$x_{2} = – frac{4}{9}$$
$$x_{1} = frac{4}{9}$$
$$x_{2} = – frac{4}{9}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{4}{9}$$
$$x_{1} = frac{4}{9}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{49}{90}$$
=
$$- frac{49}{90}$$
подставляем в выражение
$$81 x^{2} leq 16$$
$$81 left(- frac{49}{90}right)^{2} leq 16$$

2401
—- <= 16 100

но

2401
—- >= 16
100

Тогда
$$x leq – frac{4}{9}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{4}{9} wedge x leq frac{4}{9}$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$- frac{4}{9} leq x wedge x leq frac{4}{9}$$

[-4/9, 4/9]

$$x in left[- frac{4}{9}, frac{4}{9}right]$$