8*4^x-65*2^x+8

$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 < 0$$

Дано неравенство:
$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 = 0$$
или
$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$8 v^{2} – 65 v + 8 = 0$$
или
$$8 v^{2} – 65 v + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 8$$
$$b = -65$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-65)^2 – 4 * (8) * (8) = 3969

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
$$v_{2} = frac{1}{8}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{8}$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1}{40}$$
=
$$frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$- 65 cdot 2^{x} + 8 cdot 4^{x} + 8 < 0$$

40___ 40___
8*/ 4 – 65*/ 2 + 8 < 0

40___ 20___
8 – 65*/ 2 + 8*/ 2 < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{1}{8}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{1}{8}$$
$$x > 8$$

$$-3 < x wedge x < 3$$

(-3, 3)

$$x in left(-3, 3right)$$