8*log(3+2*x)*1/log(8)>-3

$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} > -3$$

Дано неравенство:
$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} > -3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} = -3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} = -3$$
$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} = -3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =8/log(8)
$$log{left (2 x + 3 right )} = – frac{3}{8} log{left (8 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$2 x + 3 = e^{- 3 frac{1}{8} log{left (8 right )}}$$
упрощаем
$$2 x + 3 = frac{2^{frac{7}{8}}}{4}$$
$$2 x = -3 + frac{2^{frac{7}{8}}}{4}$$
$$x = – frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8} + – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{8}{5} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
подставляем в выражение
$$frac{8 log{left (2 x + 3 right )}}{log{left (8 right )}} > -3$$
$$frac{8}{log{left (8 right )}} log{left (2 left(- frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8} + – frac{1}{10}right) + 3 right )} > -3$$

/ 7/8
| 1 2 |
8*log|- – + —-|
5 4 / > -3
—————–
log(8)

Тогда
$$x < - frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x < infty wedge - frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8} < x$$

7/8
3 2
(- – + —-, oo)
2 8

$$x in left(- frac{3}{2} + frac{2^{frac{7}{8}}}{8}, inftyright)$$