(-8*log(3*x)-9)*1/(1-4*log(3*x))>log(3*x)

$$frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} > log{left (3 x right )}$$

Дано неравенство:
$$frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} > log{left (3 x right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} = log{left (3 x right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} = log{left (3 x right )}$$
преобразуем
$$frac{1}{4 log{left (3 x right )} – 1} left(- left(4 log{left (3 x right )} – 1right) log{left (3 x right )} + 8 log{left (3 x right )} + 9right) = 0$$
$$- log{left (3 x right )} + frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 x right )}$$
Дано уравнение:
$$- w + frac{- 8 w – 9}{- 4 w + 1} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
1 – 4*w
получим:
$$left(- 4 w + 1right) left(- w + frac{- 8 w – 9}{- 4 w + 1}right) = 0$$
$$4 w^{2} – 9 w – 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -9$$
$$c = -9$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-9)^2 – 4 * (4) * (-9) = 225

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = – frac{3}{4}$$
делаем обратную замену
$$log{left (3 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (3 x right )} = w$$
$$log{left (3 x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
3*x = e

упрощаем
$$3 x = e^{w}$$
$$x = frac{e^{w}}{3}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x_{2} = frac{e^{3}}{3}$$
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x_{2} = frac{e^{3}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x_{2} = frac{e^{3}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{3 left(e^{1}right)^{frac{3}{4}}}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$
подставляем в выражение
$$frac{- 8 log{left (3 x right )} – 9}{- 4 log{left (3 x right )} + 1} > log{left (3 x right )}$$

/ / -3/4
| |e 1 ||
– 8*log|3*|—– – –|| – 9 / / -3/4
3 10// | |e 1 ||
—————————- > log|3*|—– – –||
1 3 10//
/ / / -3/4
| | |e 1 |||
|1 – 4*log|3*|—– – –|||
3 10///

/ 3 -3/4
-9 – 8*log|- — + e |
10 / / 3 -3/4
———————— > log|- — + e |
/ 3 -3/4 10 /
1 – 4*log|- — + e |
10 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}$$
$$x > frac{e^{3}}{3}$$

$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}right) vee left(x < frac{e^{3}}{3} wedge frac{e^{frac{1}{4}}}{3} < xright)$$

-3/4 1/4 3
e e e
(-oo, —–) U (—-, –)
3 3 3

$$x in left(-infty, frac{1}{3 e^{frac{3}{4}}}right) cup left(frac{e^{frac{1}{4}}}{3}, frac{e^{3}}{3}right)$$