(9-25*x^2)*1/x+4>0

$$4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right) > 0$$

Дано неравенство:
$$4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
x
получим:
$$x left(4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right)right) = 0$$
$$- 25 x^{2} + 4 x + 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -25$$
$$b = 4$$
$$c = 9$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(4)^2 – 4 * (-25) * (9) = 916

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$
$$x_{2} = frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$
$$x_{2} = frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$
$$x_{2} = frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$
$$x_{2} = frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_____
2 / 229 1
— – ——- – —
25 25 10

=
$$- frac{sqrt{229}}{25} – frac{1}{50}$$
подставляем в выражение
$$4 + frac{1}{x} left(- 25 x^{2} + 9right) > 0$$

2
/ _____
|2 / 229 1 |
9 – 25*|– – ——- – –|
25 25 10/
————————— + 4 > 0
1
/ _____
|2 / 229 1 |
|– – ——- – –|
25 25 10/

2
/ _____
| 1 / 229 |
9 – 25*|- — – ——-|
50 25 /
4 + ———————— > 0
_____
1 / 229
– — – ——-
50 25

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}$$
$$x > frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}$$

$$left(-infty < x wedge x < - frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}right) vee left(0 < x wedge x < frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}right)$$

_____ _____
2 / 229 2 / 229
(-oo, — – ——-) U (0, — + ——-)
25 25 25 25

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{229}}{25} + frac{2}{25}right) cup left(0, frac{2}{25} + frac{sqrt{229}}{25}right)$$