9^x-10*3^x+9

$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 < 0$$

Дано неравенство:
$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 = 0$$
или
$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} – 10 v + 9 = 0$$
или
$$v^{2} – 10 v + 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -10$$
$$c = 9$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-10)^2 – 4 * (1) * (9) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 9$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 10 cdot 3^{x} + 9^{x} + 9 < 0$$

9/10 9/10
9 – 10*3 + 9 < 0

9/10 4/5
9 – 10*3 + 3*3 < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 1$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 1$$
$$x > 9$$

$$0 < x wedge x < 2$$

(0, 2)

$$x in left(0, 2right)$$