На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$- 3^{x + 4} + 9^{x} geq 82$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 3^{x + 4} + 9^{x} = 82$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 3^{x + 4} + 9^{x} = 82$$
или
$$- 3^{x + 4} + 9^{x} – 82 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} – 81 v – 82 = 0$$
или
$$v^{2} – 81 v – 82 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -81$$
$$c = -82$$
, то
D = b^2 – 4 * a * c =
(-81)^2 – 4 * (1) * (-82) = 6889
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 82$$
$$v_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 82$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 82$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 82$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 3^{x + 4} + 9^{x} geq 82$$
11
– — + 4
1 10
— – 3 >= 82
11
—
10
9
4/5
9/10 3
– 9*3 + —- >= 82
27
но
4/5
9/10 3
– 9*3 + —- < 82 27
Тогда
$$x leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -1 wedge x leq 82$$
_____
/
——-•——-•——-
x2 x1
/log(82)
And|——- <= x, x < oo| log(3) /
log(82)
[——-, oo)
log(3)
