Abs(|x|+2)

$$left|{left|{x}right| + 2}right| < 3$$

Дано неравенство:
$$left|{left|{x}right| + 2}right| < 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left|{left|{x}right| + 2}right| = 3$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение “>= 0” или “< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x geq 0$$
или
$$0 leq x wedge x < infty$$
получаем ур-ние
$$x – 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x – 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$x < 0$$
или
$$-infty < x wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x – 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x – 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -1$$

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$left|{left|{x}right| + 2}right| < 3$$
$$left|{left|{- frac{11}{10}}right| + 2}right| < 3$$

31
— < 3 10

но

31
— > 3
10

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 wedge x < 1$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$-1 < x wedge x < 1$$

(-1, 1)

$$x in left(-1, 1right)$$