cos(2*x+pi*1/3)

$$cos{left (2 x + frac{pi}{3} right )} leq 1$$

Дано неравенство:
$$cos{left (2 x + frac{pi}{3} right )} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (2 x + frac{pi}{3} right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (2 x + frac{pi}{3} right )} = 1$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x + frac{pi}{3} = pi n + {acos}{left (1 right )}$$
$$2 x + frac{pi}{3} = pi n – pi + {acos}{left (1 right )}$$
Или
$$2 x + frac{pi}{3} = pi n$$
$$2 x + frac{pi}{3} = pi n – pi$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = pi n – frac{pi}{3}$$
$$2 x = pi n – frac{4 pi}{3}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{2 pi}{3}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{2 pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{2 pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

pi pi*n 1
– — + —- – —
6 2 10

=
$$frac{pi n}{2} – frac{pi}{6} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (2 x + frac{pi}{3} right )} leq 1$$

/ / pi pi*n 1 pi
cos|2*|- — + —- – –| + –| <= 1 6 2 10/ 3 /

cos(-1/5 + pi*n) <= 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{pi n}{2} – frac{pi}{6}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{pi n}{2} – frac{pi}{6}$$
$$x geq frac{pi n}{2} – frac{2 pi}{3}$$

$$-infty < x wedge x < infty$$

(-oo, oo)

$$x in left(-infty, inftyright)$$