cos(2*x)>=-sqrt(2)/2

$$cos{left (2 x right )} geq frac{-1 sqrt{2}}{2}$$

Дано неравенство:
$$cos{left (2 x right )} geq frac{-1 sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (2 x right )} = frac{-1 sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (2 x right )} = frac{-1 sqrt{2}}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = pi n + {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$2 x = pi n – pi + {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
Или
$$2 x = pi n + frac{3 pi}{4}$$
$$2 x = pi n – frac{pi}{4}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{8}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} – frac{1}{10} + frac{3 pi}{8}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (2 x right )} geq frac{-1 sqrt{2}}{2}$$
$$cos{left (2 left(frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8} + – frac{1}{10}right) right )} geq frac{-1 sqrt{2}}{2}$$

___
/ 1 pi -/ 2
-sin|- – + — + pi*n| >= ——-
5 4 / 2

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{pi n}{2} + frac{3 pi}{8}$$
$$x geq frac{pi n}{2} – frac{pi}{8}$$

/ / 3*pi /5*pi
Or|And|x <= ----, -oo < x|, And|---- <= x, x < oo|| 8 / 8 //

$$left(x leq frac{3 pi}{8} wedge -infty < xright) vee left(frac{5 pi}{8} leq x wedge x < inftyright)$$

3*pi 5*pi
(-oo, —-] U [—-, oo)
8 8

$$x in left(-infty, frac{3 pi}{8}right] cup left[frac{5 pi}{8}, inftyright)$$