cos(2*x)>0

$$cos{left (2 x right )} > 0$$

Дано неравенство:
$$cos{left (2 x right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (2 x right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (2 x right )} = 0$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$cos{left (2 x right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = pi n + {acos}{left (0 right )}$$
$$2 x = pi n – pi + {acos}{left (0 right )}$$
Или
$$2 x = pi n + frac{pi}{2}$$
$$2 x = pi n – frac{pi}{2}$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{4}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} + frac{pi}{4} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{pi n}{2} – frac{1}{10} + frac{pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (2 x right )} > 0$$
$$cos{left (2 left(frac{pi n}{2} + frac{pi}{4} + – frac{1}{10}right) right )} > 0$$

-sin(-1/5 + pi*n) > 0

Тогда
$$x < frac{pi n}{2} + frac{pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{pi n}{2} + frac{pi}{4} wedge x < frac{pi n}{2} - frac{pi}{4}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/ pi
And|-oo < x, x < --| 4 /

$$-infty < x wedge x < frac{pi}{4}$$

pi
(-oo, –)
4

$$x in left(-infty, frac{pi}{4}right)$$