-cos((5*x-pi)*1/(6^1))

$$- cos{left (frac{1}{6} left(5 x – piright) right )} < frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$- cos{left (frac{1}{6} left(5 x – piright) right )} < frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- cos{left (frac{1}{6} left(5 x – piright) right )} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- cos{left (frac{1}{6} left(5 x – piright) right )} = frac{1}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$sin{left (frac{5 x}{6} + frac{pi}{3} right )} = – frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{5 x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n + {asin}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$frac{5 x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n – {asin}{left (- frac{1}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{5 x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n – frac{pi}{6}$$
$$frac{5 x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n + frac{7 pi}{6}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$frac{5 x}{6} = 2 pi n – frac{pi}{2}$$
$$frac{5 x}{6} = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{5}{6}$$
$$x_{1} = frac{12 pi}{5} n – frac{3 pi}{5}$$
$$x_{2} = frac{12 pi}{5} n + pi$$
$$x_{1} = frac{12 pi}{5} n – frac{3 pi}{5}$$
$$x_{2} = frac{12 pi}{5} n + pi$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{12 pi}{5} n – frac{3 pi}{5}$$
$$x_{2} = frac{12 pi}{5} n + pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

3*pi 12*pi*n 1
– —- + ——- – —
5 5 10

=
$$frac{12 pi}{5} n – frac{3 pi}{5} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- cos{left (frac{1}{6} left(5 x – piright) right )} < frac{1}{2}$$

/ / 3*pi 12*pi*n 1
|5*|- —- + ——- – –| – pi|
| 5 5 10/ |
-cos|——————————| < 1/2 | 1 | 6 /

/1 pi
sin|– + — – 2*pi*n| < 1/2 12 6 /

но

/1 pi
sin|– + — – 2*pi*n| > 1/2
12 6 /

Тогда
$$x < frac{12 pi}{5} n - frac{3 pi}{5}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{12 pi}{5} n – frac{3 pi}{5} wedge x < frac{12 pi}{5} n + pi$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/ /-3*pi
Or|And(pi < x, x < oo), And|----- < x, x < pi|| 5 //

$$left(pi < x wedge x < inftyright) vee left(- frac{3 pi}{5} < x wedge x < piright)$$

-3*pi
(—–, pi) U (pi, oo)
5

$$x in left(- frac{3 pi}{5}, piright) cup left(pi, inftyright)$$