cos(t)

$$cos{left (t right )} < frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$cos{left (t right )} < frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (t right )} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (t right )} = frac{1}{2}$$
преобразуем
$$cos{left (t right )} – frac{1}{2} = 0$$
$$cos{left (t right )} – frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (t right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$cos{left (t right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
Данные корни
$$x_{16} = -359.18876006$$
$$x_{67} = -225.147473507$$
$$x_{37} = -99.4837673637$$
$$x_{54} = -95.2949771589$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{4} = -89.0117918517$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{36} = -82.7286065445$$
$$x_{21} = -80.6342114421$$
$$x_{23} = -76.4454212374$$
$$x_{66} = -74.351026135$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{11} = -63.879050623$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{10} = -57.5958653158$$
$$x_{65} = -55.5014702134$$
$$x_{49} = -51.3126800086$$
$$x_{51} = -49.2182849062$$
$$x_{62} = -45.0294947015$$
$$x_{47} = -42.9350995991$$
$$x_{12} = -38.7463093943$$
$$x_{28} = -36.6519142919$$
$$x_{25} = -32.4631240871$$
$$x_{52} = -30.3687289847$$
$$x_{5} = -26.1799387799$$
$$x_{48} = -24.0855436775$$
$$x_{53} = -19.8967534727$$
$$x_{33} = -17.8023583703$$
$$x_{2} = -13.6135681656$$
$$x_{41} = -11.5191730632$$
$$x_{58} = -7.33038285838$$
$$x_{57} = -5.23598775598$$
$$x_{42} = -1.0471975512$$
$$x_{60} = 1.0471975512$$
$$x_{45} = 5.23598775598$$
$$x_{24} = 7.33038285838$$
$$x_{3} = 11.5191730632$$
$$x_{22} = 13.6135681656$$
$$x_{63} = 17.8023583703$$
$$x_{34} = 19.8967534727$$
$$x_{44} = 24.0855436775$$
$$x_{31} = 26.1799387799$$
$$x_{64} = 30.3687289847$$
$$x_{38} = 32.4631240871$$
$$x_{30} = 36.6519142919$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{9} = 42.9350995991$$
$$x_{50} = 45.0294947015$$
$$x_{6} = 49.2182849062$$
$$x_{46} = 51.3126800086$$
$$x_{40} = 55.5014702134$$
$$x_{27} = 57.5958653158$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{26} = 63.879050623$$
$$x_{39} = 68.0678408278$$
$$x_{61} = 70.1622359302$$
$$x_{8} = 74.351026135$$
$$x_{20} = 76.4454212374$$
$$x_{43} = 80.6342114421$$
$$x_{19} = 82.7286065445$$
$$x_{7} = 86.9173967493$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{32} = 93.2005820565$$
$$x_{29} = 95.2949771589$$
$$x_{17} = 99.4837673637$$
$$x_{35} = 1651.43053824$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{16}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{16} – frac{1}{10}$$
=
$$-359.28876006$$
=
$$-359.28876006$$
подставляем в выражение
$$cos{left (t right )} < frac{1}{2}$$
$$cos{left (t right )} < frac{1}{2}$$

cos(t) < 1/2

Тогда
$$x < -359.18876006$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -359.18876006 wedge x < -225.147473507$$

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-
x16 x67 x37 x54 x55 x4 x15 x36 x21 x23 x66 x1 x56 x11 x18 x10 x65 x49 x51 x62 x47 x12 x28 x25 x52 x5 x48 x53 x33 x2 x41 x58 x57 x42 x60 x45 x24 x3 x22 x63 x34 x44 x31 x64 x38 x30 x13 x9 x50 x6 x46 x40 x27 x14 x26 x39 x61 x8 x20 x43 x19 x7 x59 x32 x29 x17 x35

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -359.18876006 wedge x < -225.147473507$$
$$x > -99.4837673637 wedge x < -95.2949771589$$
$$x > -93.2005820565 wedge x < -89.0117918517$$
$$x > -86.9173967493 wedge x < -82.7286065445$$
$$x > -80.6342114421 wedge x < -76.4454212374$$
$$x > -74.351026135 wedge x < -70.1622359302$$
$$x > -68.0678408278 wedge x < -63.879050623$$
$$x > -61.7846555206 wedge x < -57.5958653158$$
$$x > -55.5014702134 wedge x < -51.3126800086$$
$$x > -49.2182849062 wedge x < -45.0294947015$$
$$x > -42.9350995991 wedge x < -38.7463093943$$
$$x > -36.6519142919 wedge x < -32.4631240871$$
$$x > -30.3687289847 wedge x < -26.1799387799$$
$$x > -24.0855436775 wedge x < -19.8967534727$$
$$x > -17.8023583703 wedge x < -13.6135681656$$
$$x > -11.5191730632 wedge x < -7.33038285838$$
$$x > -5.23598775598 wedge x < -1.0471975512$$
$$x > 1.0471975512 wedge x < 5.23598775598$$
$$x > 7.33038285838 wedge x < 11.5191730632$$
$$x > 13.6135681656 wedge x < 17.8023583703$$
$$x > 19.8967534727 wedge x < 24.0855436775$$
$$x > 26.1799387799 wedge x < 30.3687289847$$
$$x > 32.4631240871 wedge x < 36.6519142919$$
$$x > 38.7463093943 wedge x < 42.9350995991$$
$$x > 45.0294947015 wedge x < 49.2182849062$$
$$x > 51.3126800086 wedge x < 55.5014702134$$
$$x > 57.5958653158 wedge x < 61.7846555206$$
$$x > 63.879050623 wedge x < 68.0678408278$$
$$x > 70.1622359302 wedge x < 74.351026135$$
$$x > 76.4454212374 wedge x < 80.6342114421$$
$$x > 82.7286065445 wedge x < 86.9173967493$$
$$x > 89.0117918517 wedge x < 93.2005820565$$
$$x > 95.2949771589 wedge x < 99.4837673637$$
$$x > 1651.43053824$$

/ /pi 5*pi /5*pi
Or|And|– < t, t < ----|, And|---- < t, t < oo|| 3 3 / 3 //

$$left(frac{pi}{3} < t wedge t < frac{5 pi}{3}right) vee left(frac{5 pi}{3} < t wedge t < inftyright)$$

pi 5*pi 5*pi
(–, —-) U (—-, oo)
3 3 3

$$x in left(frac{pi}{3}, frac{5 pi}{3}right) cup left(frac{5 pi}{3}, inftyright)$$