cos((x-pi)/6)>=-1/2

$$cos{left (frac{1}{6} left(x – piright) right )} geq – frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$cos{left (frac{1}{6} left(x – piright) right )} geq – frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (frac{1}{6} left(x – piright) right )} = – frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (frac{1}{6} left(x – piright) right )} = – frac{1}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n + {asin}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$frac{x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n – {asin}{left (- frac{1}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n – frac{pi}{6}$$
$$frac{x}{6} + frac{pi}{3} = 2 pi n + frac{7 pi}{6}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$frac{x}{6} = 2 pi n – frac{pi}{2}$$
$$frac{x}{6} = 2 pi n + frac{5 pi}{6}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 12 pi n – 3 pi$$
$$x_{2} = 12 pi n + 5 pi$$
$$x_{1} = 12 pi n – 3 pi$$
$$x_{2} = 12 pi n + 5 pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 12 pi n – 3 pi$$
$$x_{2} = 12 pi n + 5 pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

-3*pi + 12*pi*n – 1/10

=
$$12 pi n – 3 pi – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (frac{1}{6} left(x – piright) right )} geq – frac{1}{2}$$

/-3*pi + 12*pi*n – 1/10 – pi
cos|—————————| >= -1/2
| 1 |
6 /

/1 pi
-sin|– + — – 2*pi*n| >= -1/2
60 6 /

но

/1 pi
-sin|– + — – 2*pi*n| < -1/2 60 6 /

Тогда
$$x leq 12 pi n – 3 pi$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 12 pi n – 3 pi wedge x leq 12 pi n + 5 pi$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$- 3 pi leq x wedge x < infty$$

[-3*pi, oo)

$$x in left[- 3 pi, inftyright)$$