cos(x)>=1/3

$$cos{left (x right )} geq frac{1}{3}$$

Дано неравенство:
$$cos{left (x right )} geq frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (x right )} = frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = frac{1}{3}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
, где n – любое целое число
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )} + – frac{1}{10}$$
=
$$pi n – frac{1}{10} + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
подставляем в выражение
$$cos{left (x right )} geq frac{1}{3}$$
$$cos{left (pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )} + – frac{1}{10} right )} geq frac{1}{3}$$

cos(-1/10 + pi*n + acos(1/3)) >= 1/3

но

cos(-1/10 + pi*n + acos(1/3)) < 1/3

Тогда
$$x leq pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq pi n + {acos}{left (frac{1}{3} right )} wedge x leq pi n – pi + {acos}{left (frac{1}{3} right )}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$left(x leq {acos}{left (frac{1}{3} right )} wedge -infty < xright) vee x = - {acos}{left (frac{1}{3} right )} + 2 pi$$

(-oo, acos(1/3)] U {-acos(1/3) + 2*pi}

$$x in left(-infty, {acos}{left (frac{1}{3} right )}right] cup left{- {acos}{left (frac{1}{3} right )} + 2 piright}$$