cos(x)^2>=0.250000000000000

$$cos^{2}{left (x right )} geq 0.25$$

Дано неравенство:
$$cos^{2}{left (x right )} geq 0.25$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos^{2}{left (x right )} = 0.25$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos^{2}{left (x right )} = 0.25$$
преобразуем
$$cos^{2}{left (x right )} – 0.25 = 0$$
$$cos^{2}{left (x right )} – 0.25 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -0.25$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-0.25) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0.5$$
$$w_{2} = -0.5$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (0.5 right )}$$
$$x_{1} = pi n + 1.0471975511966$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (-0.5 right )}$$
$$x_{2} = pi n + 2.0943951023932$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (0.5 right )}$$
$$x_{3} = pi n – pi + 1.0471975511966$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (-0.5 right )}$$
$$x_{4} = pi n – pi + 2.0943951023932$$
$$x_{1} = 1.0471975511966$$
$$x_{2} = 2.0943951023932$$
$$x_{3} = 4.18879020478639$$
$$x_{4} = 5.23598775598299$$
$$x_{1} = 1.0471975511966$$
$$x_{2} = 2.0943951023932$$
$$x_{3} = 4.18879020478639$$
$$x_{4} = 5.23598775598299$$
Данные корни
$$x_{1} = 1.0471975511966$$
$$x_{2} = 2.0943951023932$$
$$x_{3} = 4.18879020478639$$
$$x_{4} = 5.23598775598299$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$0.947197551196598$$
=
$$0.947197551196598$$
подставляем в выражение
$$cos^{2}{left (x right )} geq 0.25$$
$$cos^{2}{left (0.947197551196598 right )} geq 0.25$$

0.341009699250378 >= 0.25

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 1.0471975511966$$

_____ _____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 1.0471975511966$$
$$x geq 2.0943951023932 wedge x leq 4.18879020478639$$
$$x geq 5.23598775598299$$

$$left(2.0943951023932 leq x wedge x leq 4.18879020478639right) vee left(x leq 1.0471975511966 wedge -infty < xright) vee x = 5.23598775598299$$

(-oo, 1.0471975511966] U [2.0943951023932, 4.18879020478639] U {5.23598775598299}

$$x in left(-infty, 1.0471975511966right] cup left[2.0943951023932, 4.18879020478639right] cup left{5.23598775598299right}$$