log(1/2)*1/log(6-x)>=-2

$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} geq -2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} geq -2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} = -2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} = -2$$
преобразуем
$$2 – frac{log{left (2 right )}}{log{left (- x + 6 right )}} = 0$$
$$2 + frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x + 6 right )}$$
Дано уравнение:
$$2 + frac{1}{w} log{left (frac{1}{2} right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = 1/2

a2 = 1

b2 = w/log(2)

зн. получим ур-ние
$$frac{w}{log{left (2 right )}} = frac{1}{2}$$
$$frac{w}{log{left (2 right )}} = frac{1}{2}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w/log2 = 1/2

Разделим обе части ур-ния на 1/log(2)

w = 1/2 / (1/log(2))

Получим ответ: w = log(2)/2
делаем обратную замену
$$log{left (- x + 6 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (- x + 6 right )} = w$$
$$log{left (- x + 6 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
-x + 6 = e

упрощаем
$$- x + 6 = e^{w}$$
$$- x = e^{w} – 6$$
$$x = – e^{w} + 6$$
подставляем w:
$$x_{1} = – sqrt{2} + 6$$
$$x_{1} = – sqrt{2} + 6$$
Данные корни
$$x_{1} = – sqrt{2} + 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___ 1
6 – / 2 – —
10

=
$$- sqrt{2} + frac{59}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{2} right )}}{log{left (- x + 6 right )}} geq -2$$

log(1/2)
———————— >= -2
1/ ___ 1
log |6 – 6 – / 2 – –|
10/

-log(2)
—————
/1 ___ >= -2
log|– + / 2 |
10 /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq – sqrt{2} + 6$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq – sqrt{2} + 6 wedge -infty < x$$

___
(-oo, 6 – / 2 ]

$$x in left(-infty, – sqrt{2} + 6right]$$